Ementa:
Corpos ordenados. Supremo e ínfimo. Axioma da completude. Propriedade arquimedi-
ana. Sequências. Convergência de sequências. Sequências de Cauchy. Construção
do corpo dos números reais. Unicidade da reta real. Séries e critérios de convergência.
Representação decimal de números reais. Reordenação de séries. Séries de potências.
Raio de convergência.
OBJETIVOS: Descrever a estrutura de corpo ordenado do conjunto dos números reais e
deduzir suas propriedades básicas a partir desta estrutura. Manipular supremos, ínfimos,
limites superiores e limites inferiores, e demonstrar propriedades básicas envolvendo estes
conceitos. Compreender a noção de convergência de sequências reais e relacionar
os conceitos de sequência convergente e sequência de Cauchy. Estabelecer a exis-
tência e a unicidade da reta real. Operar com séries infinitas. Justificar e aplicar testes
de convergência de séries. Manipular séries de potências e determinar seus raios de
convergência.
BIBLIOGRAFIA BÁSICA:
BIBLIOGRAFIA COMPLEMENTAR:
TERENCE, T. Analysis. 2nd ed. New Delhi: Hindustan Book Agency, 2009.
BOYCE, W. E.; DIPRIMA, R. C. Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores deContorno. 8. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2006.
GUIDORIZZI, H. Um Curso de Cálculo. v. 4, 5. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001. KNOPP, K. Infinite Sequences and Series. New York: Dover Publications, 1956.
LIMA, E. L. Análise real: funções de uma variável. 9. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 2007.
ROSS, K. A. Elementary Analysis: the theory of calculus. New York: Springer-Verlag, 1980.
Provas – P1 – 23/10. P2 – 04/12. REC – 11/12
2as 21-23h, 5as 19-21h. Sala S-004-0
Cronograma Tentativa:
15/09: Operações Binárias, Axiomas de Anel e Ordem – Números Inteiros.
18/09: Princípio da Boa Ordenação. Princípio da Indução Matemática. Números Racionais
22/09: Supremo e Ínfimo, Axioma da Completude – Números Reais.
25/09 – Não Haverá Aula – Congresso UFABC
29/09: Continuação de Números Reais – Resultados Adicionais de Sup e Inf.
02/10 Topologia da Reta Real – Conceito de Distâncias e Abertos.
06/10 Sequências de Números Reais. Limites e Convergência.
09/10 Sequências Monótonas. Subsequências.
Referências: Elon Lages Lima- Um Curso de Análise – Vol.1, Cap IV.
Calculus, Tom Apostol Vol 1, Cap 10
13/10 Teorema de Bolzano-Weierstrass. Sequência de Cauchy
16/10 Continuação de Sequência de Cauchy.
Referências: Sequências de Cauchy: Principles of Mathematical Analysis – W. Rudin. Cap. 3
20/10: Dúvidas e Revisão.
23/10: Prova 1
30/10: Sequência de Cauchy, exemplos alternativos: Reais estendidos, Distância ArcTan, Conjuntos Fechados – Distância de Hausdorff. Conjunto de Cantor
03/11: Séries:Definição, Série Harmônica, Série Geométrica
Referências: Calculus, Tom Apostol Vol 1, Cap 10
06/11: Critérios de Convergência – Termos não Negativos:
10/11: Continuação de Convergência séries. Séries Alternadas
13/11: Série de Exemplos para Aplicação de Testes de Convergência. Sequência de Funções.
17/11: Sequência de Funções, Convergência Uniforme.
24/11: Série de Funções, Teorema de Taylor.
28/11 Continuação Série de Taylor
01/12 Exemplos finais, Raio de Convergência e Testes.
04/12: Não Haverá Aula
08/12: Prova 2
11/12 Vista de Provas